Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1145: Lineare Splines

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung:
	Aufgabe 1145: Lineare Splines

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Um aus einer (endlichen) Wertetabelle $\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)\}$ eine Funktion zu konstruieren, verwendet man vielfach so genannte Splines. Im einfachsten Fall der linearen Splines, verbindet man die Punkte im Graphen der Wertetabelle durch Geraden. Zur weiteren Vereinfachung betrachten wir äquidistante Stützstellen im Einheitsintervall, also

$\displaystyle x_i=\frac i n$

Die Splinefunktion $f_{\boldsymbol{y}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ist dann für $\boldsymbol{y}=(y_0,y_1,\dots,y_n)$ gegeben durch

$\displaystyle f_{\boldsymbol{y}}(x) = y_i(i+1-nx) + y_{i+1}(nx-i)\,,\qquad \textrm{ falls }\ \frac in \leq x \leq \frac{i+1}n$

Zeigen Sie, dass

$f_{\boldsymbol{y}}(x_i)=y_i$ für alle $0\leq i\leq n$ und $f_{\boldsymbol{y}}$ auf dem Intervall $[x_i,x_{i+1}]$ eine Gerade ist.
$V_{\frac1n}=\{f_{\boldsymbol{y}} \vert {\boldsymbol{y}}\in \mathbb{R}^{n+1}\}$ ein $\mathbb{R}$ -Vektorraum ist, wobei Addition und Multiplikation mit Skalaren in folgender Weise definiert sind.

$\displaystyle \big(f_{\boldsymbol{y}} +f_{\boldsymbol{z}}\big)(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f_{\boldsymbol{y}}(x) +f_{\boldsymbol{z}}(x)$

$\displaystyle \big(\alpha f_{\boldsymbol{y}}\big)(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha f_{\boldsymbol{y}}(x)$

Geben Sie eine Basis des Vektorraums an und skizzieren Sie diese Basiselemente.

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006

$\displaystyle \big(f_{\boldsymbol{y}} +f_{\boldsymbol{z}}\big)(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f_{\boldsymbol{y}}(x) +f_{\boldsymbol{z}}(x)$
$\displaystyle \big(\alpha f_{\boldsymbol{y}}\big)(x)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \alpha f_{\boldsymbol{y}}(x)$