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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1211: Zusammenhang zwischen den Eigenwerten zu Eigenvektoren einer Matrix und den Eigenwerten zu Eigenvektoren einer Potenz dieser Matrix

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Es ist $ A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ eine Matrix und $ n$ eine natürliche Zahl.
  1. Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A$ zum Eigenvektor $ v$, dann ist $ \lambda^n$ ein Eigenwert von $ A^n$ zum Eigenvektor $ v$.
  2. Widerlegen Sie die Behauptung: Ist $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A^n$, dann ist $ \sqrt[n]{\lambda}$ ein Eigenwert von $ A$. Hinweis: In ,,kleinen`` Räumen lassen sich für kleine $ n$ schöne Gegenbeispiele finden.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 6.  2. 2006