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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1288: Supremumsnorm

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Wir betrachten den Raum

$\displaystyle F := \{ f:[a,b]\to\mathbb{R}\, \big\vert\, \exists\,C\in\mathbb{R} : \vert f(x)\vert<C \,\forall x\in[a,b] \} $

der reellwertigen beschränkten Funktionen auf dem Intervall $ [a,b]$ mit der Supremumsnorm

$\displaystyle \Vert f\Vert _\infty := \sup\{ \vert f(x)\vert\, \big\vert\, x\in [a,b]\} $

Zeigen Sie, dass
  1. die Supremumsnorm eine Norm auf dem Raum $ F$ ist,
  2. die Konvergenz bzgl. der Supremumsnorm $ \Vert\cdot\Vert _\infty$ äquivalent zur gleichmäßigen Konvergenz ist.
(Aus: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik SS06, Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 29. 10. 2006