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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1371: Totale Differenzierbarkeit. Tangentialebene. Gradient.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x_1,x_2)=-x_1^2-x_2^2$ gegeben.
  1. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass $ f$ in jedem Punkt $ (x_1,x_2)$ total differenzierbar ist.
  2. Bestimmen Sie die Tangente der Funktion $ f$ am Punkt $ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2$ in Richtung $ \mathbf{a}\in \mathbb{R}^2$ mit $ \vert\mathbf{a}\vert =1$ in der Form

    $\displaystyle \mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3)^\top=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))^\top + \lambda\mathbf{v}_1\,, $

    mit $ \lambda\in \mathbb{R}$, $ \mathbf{v}\in \mathbb{R}^3$.

  3. Zeigen Sie, dass die Tangenten der Funktion $ f$ am Punkt $ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^2$ in Richtung $ \mathbf{a}$ für alle Richtungen $ \mathbf{a}\in \mathbb{R}^2$ mit $ \vert\mathbf{a}\vert =1$ in einer Ebene liegen. Bestimmen Sie diese Ebene (die Tangentialebene) im Punkt $ (x_1,x_2)$ in der Form

    $\displaystyle \mathbf{r}=(r_1,r_2,r_3)^\top=(x_1,x_2,f(x_1,x_2))^\top + \lambda\mathbf{v}_1 + \mu\mathbf{v}_2\,, $

    mit $ \lambda,\mu\in \mathbb{R}$, $ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in \mathbb{R}^3$. Stellen Sie den Zusammenhang mit dem Gradienten von $ f$ dar.

(Aus: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik SS06, Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 29. 10. 2006