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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1404: Extremwertaufgabe bei Funktionenscharen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sind die Funktionen $ f\colon[0,2]\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto -x^2+2x$ und $ g_\alpha\colon [0,2]\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto 2x+\alpha$ für $ \alpha\in\mathbb{R}$.
a)
Bestimmen Sie das Intervall $ I\subseteq\mathbb{R}$ so, dass für alle $ \alpha\in I$ die Graphen von $ f$ und $ g_\alpha$ mindestens einen Schnittpunkt haben, das heißt, dass für alle $ \alpha\in I$ gilt:

$\displaystyle \left\{\smash{x\in[0,2]}\left\vert% \vphantom{\smash{x\in[0,2]}}\... ...mash{f(x)=g_\alpha(x)}}\right.\,\smash{f(x)=g_\alpha(x)}\right\} \neq \emptyset$.

Geben Sie für alle $ \alpha\in I$ die Menge $ \left\{\smash{x\in[0,2]}\left\vert% \vphantom{\smash{x\in[0,2]}}\vphantom{\smash{f(x)=g_\alpha(x)}}\right.\,\smash{f(x)=g_\alpha(x)}\right\} $ explizit an.

b)
Die Graphen von $ f$ und $ g_\alpha$ für $ \alpha\in I$ schließen die Fläche $ F_\alpha$ ein. Bestimmen Sie die Fläche $ F_\alpha$.
c)
Für welche $ \alpha\in I$ wird die Fläche $ F_\alpha$ maximal, für welche minimal?
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  8. 2006