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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1446: Niveaulinien, partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit von Funktionen zweier Veränderlicher

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Funktion:

\begin{displaymath} f\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\colon (x,y)\mapsto ... ...$(x,y)\neq(0,0)$}\\ 0 & \text{falls $(x,y)=(0,0)$} \end{cases}\end{displaymath}

a)
Skizzieren Sie die Mengen:

$\displaystyle G_0$ $\displaystyle = \left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\left\vert\strut \vphantom{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\vphantom{f\big((x,y)\big)=0}\right.\, {f\big((x,y)\big)=0}\right\}$    
$\displaystyle G_+$ $\displaystyle = \left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\left\vert\strut \vphantom{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\vphantom{f\big((x,y)\big)>0}\right.\, {f\big((x,y)\big)>0}\right\}$    
$\displaystyle G_-$ $\displaystyle = \left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\left\vert\strut \vphantom{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\vphantom{f\big((x,y)\big)<0}\right.\, {f\big((x,y)\big)<0}\right\}$    

b)
Skizzieren Sie für $ c\in\mathbb{R}$ die Niveaulinie $ \left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\left\vert\strut \vphantom{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\vphantom{f\big((x,y)\big)=c}\right.\, {f\big((x,y)\big)=c}\right\} $.
c)
Bestimmen Sie für alle $ (x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ die partiellen Ableitungen $ f_x\big((x_0,y_0)\big)$, $ f_y\big((x_0,y_0)\big)$, $ f_{xy}\big((x_0,y_0)\big)$, $ f_{yx}\big((x_0,y_0)\big)$, $ f_{xx}\big((x_0,y_0)\big)$ und $ f_{yy}\big((x_0,y_0)\big)$.
d)
Untersuchen Sie die Funktion $ f$ auf totale Differenzierbarkeit.
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  8. 2006