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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1466: Jakobi-Matrix.

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Sei

$\displaystyle \vec{f}: {\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{R}}^3, \vec{f}(u,v)= \begin{pmatrix} \cos u \cos v \\ \sin u \cos v\\ v \end{pmatrix}$

Berechnen Sie die Jakobi-Matrix $ \nabla\vec{f}$ . Für welche Punkte ist der Rang von $ \nabla\vec{f}$ gleich $ 2$ ?

Bezeichne $ (\nabla\vec{f},\vec{e}_i)$ die $ 3\times 3$ Matrix, deren ersten beiden Spalten aus den Spalten der Jakobi-Matrix besteht, und deren dritte Spalte gleich $ \vec{e}_i$ ist.

Berechnen Sie die Oberfläche der durch $ f$ parametrisierten Fläche

$\displaystyle \int \sqrt{\sum_{i=1}^3 \big(\det (\nabla\vec{f},\vec{e}_i)\big)^2} \,d u \,d v $

für $ 0<u\leq 2\pi$ und $ v$ begrenzt durch die Punkte mit $ \mathrm{rg}\, \nabla\vec{f} = 1$ .
(Aus: Mathematik II für Informatik und Softwaretechnik SS06, Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

Lösung:

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  automatisch erstellt am 6. 11. 2006