Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1467: Kettenregel für vektorwertige Funktionen.

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	Aufgabe 1467: Kettenregel für vektorwertige Funktionen.

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Beweisen Sie die Kettenregel für vektorwertige Funktionen:
Seien

$\displaystyle \vec{g}: D\subseteq {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^m$ $\displaystyle \quad \text { und } \quad \vec{f}: g(D) \to {\mathbb{R}}^l$
stetig differenzierbare vektorwertige Funktionen. Dann ist auch die Komposition

$\displaystyle \vec{f}\circ \vec{g}: D\subseteq {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^l$
stetig differenzierbar und es gilt

$\displaystyle \nabla(\vec{f}\circ \vec{g})(\vec{x})=\nabla(\vec{f}( \vec{g}(\vec{x})) =(\nabla\vec{f})(\vec{g}(\vec{x})) (\nabla\vec{g})(\vec{x})\,,$
m.a.W. die Jacobi-Matrix der Komposition $\vec{f}\circ \vec{g}$ an der Stelle $\vec{x}$ ist das Matrixprodukt der Jacobi-Matrix von $\vec{f}$ an der Stelle $\vec{g}(x)$ und der Jacobi-Matrix von $\vec{g}$ an der Stelle $\vec{x}$ .
Hinweis: ein eleganter und kurzer Beweis benutzt direkt die Definition der Jakobi-Matrix

$\displaystyle \vec{f}(\vec{x}+\vec{h}) = \vec{f}(\vec{x}) + (\nabla\vec{f})(\vec{x})\vec{h} + o(\vec{h})$
Berechnen Sie mit Hilfe obiger Kettenregel die Jacobi-Matrix der Funktion $\vec{f}\circ \vec{g}$ mit

$\begin{displaymath} \begin{array}{rrcllrrcl} g:& {\mathbb{R}}^2 &\to&{\mathbb{R}... ...begin{pmatrix} \cos x_1\\ \sin x_2 \end{pmatrix}\end{array}\,. \end{displaymath}$
Zeigen Sie: Ist $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to{\mathbb{R}}^m$ total differenzierbar, injektiv und $f^{-1}:\mathrm{Im}f\subseteq{\mathbb{R}}^m\to{\mathbb{R}}^n$ ebenfalls total differenzierbar, so folgt für alle $\vec{x}\in D$

$\displaystyle {\nabla(\vec{f}^{-1})}(\vec{f}(\vec{x})) {\nabla \vec{f}}(\vec{x}) = E_n$