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Mathematik-Online-Lexikon:

Bemerkungen zu Haupt- und Kompositionsreihen


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a)
Zunächst stellt sich die Frage nach der Existenz von Haupt- und Kompositionsfaktoren.

In diesem Fall interessiert es dann, wie eindeutig die Haupt- und Kompositionsreihen, bzw. die Haupt- und Kompositionsfaktoren sind.

b)
Die abgeleitete Reihe, sowie die auf- und absteigende Zentralreihe sind charakteristische Reihen.
Ist $ G$ eine endliche Gruppe, dann lassen sich leicht einige wichtige Aussagen ableitet:
c)
$ G$ ist genau dann auflösbar, wenn alle Kompositionsfaktoren zyklisch von Primzahlordnung sind.
d)
Ist $ G$ nilpotent, dann sind alle Hauptfaktoren zyklisch von Primzahlordnung.

Die Umkehrung gilt i.A. nicht.

e)
Ist $ G$ auflösbar aber nicht nilpotent, dann kann es Hauptfaktoren geben, die nicht zyklisch und nicht von Primzahlordnung sind.
f)
Gruppen mit Max und Min besitzen eine Kompositions- bzw. Hauptreihe.

Beispiel:


[Verweise]

  automatisch erstellt am 3. 11. 2006