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Mathematik-Online-Lexikon:

Komplexe Zahlen

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Unter einer komplexen Zahl versteht man ein geordnetes Zahlenpaar $ (a,b)$ aus reellen Zahlen $ a$ und $ b$ .

,,geordnet`` bedeutet dabei

$\displaystyle (a,b) = (c,d) \qquad \Longleftrightarrow \qquad a=c \ \land \ b=d $

Insbesondere ergibt sich daraus

$\displaystyle (a,b) = (b,a) \qquad \Longleftrightarrow \qquad a = b $

In der Mathematik hat sich $ (a,b) = a+\mathrm{i}b$ (bzw. auch $ a+b\mathrm{i}$) für die Schreibweise einer komplexen Zahl eingebürgert. Die Menge der komplexen Zahlen ist somit gegeben durch

$\displaystyle {\mathbb{C}} := \{a+\mathrm{i}b \ \vert \ a,b\in {\mathbb{R}}\} $

Die komplexen Zahlen sollen folgende Eigenschaften besitzen:

  1. $ 0+\mathrm{i}1$ soll eine Lösung der Gleichung $ x^2=-1$ sein.
  2. Sie sollen die reellen Zahlen in natürlicher Weise enthalten. Hierzu wird $ {\mathbb{R}}$ identifiziert mit $ \{a+\mathrm{i}0 \ \vert \ a \in {\mathbb{R}}\}$. Dabei sollen die gewohnten Rechenoperationen in $ {\mathbb{R}}$ weiterhin gelten.
  3. In $ {\mathbb{C}}$ sollen alle Rechenregeln analog wie in $ {\mathbb{R}}$ gelten, d.h. die Körperaxiome sollen efüllt sein..

Diese Forderungen führen auf folgende Definition von Addition bzw. Multiplikation von komplexen Zahlen und mit diesen Rechenoperationen sind obige Forderungen auch erfüllt:

Addition:

$\displaystyle (a_1 + \mathrm{i}b_1) + (a_2 + \mathrm{i}b_2) := (a_1 + a_2) + \mathrm{i}(b_1 + b_2) $

Multiplikation:

$\displaystyle (a_1 + \mathrm{i}b_1) \cdot (a_2 + \mathrm{i}b_2) := (a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2) + \mathrm{i}(b_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2) $

Abkürzende Schreibweisen: $ a = a + \mathrm{i}0, \mathrm{i} = 0 + \mathrm{i}1, \mathrm{i}b = b\mathrm{i} = 0 + \mathrm{i}b .$

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006