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Mathematik-Online-Lexikon:

Basislösungen eines linearen homogenen Systems

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Ist $ (v_1,\dots,v_n)^{\operatorname t}$ ein Eigenvektor der Matrix $ A$ zum Eigenwert $ \lambda$, dann ist

$\displaystyle u(t) = \exp(\lambda t) v $

eine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems $ u^\prime = A u$. Bei komplex konjugierten Eigenwerten $ \lambda = \sigma \pm \varrho\mathrm{i}$ sind für eine reelle Matrix Real- und Imaginärteil von $ u$,

$\displaystyle \exp(\sigma t)(\cos(\varrho t)\operatorname{Re}v-\sin(\varrho t)\... ...ma t)(\sin(\varrho t)\operatorname{Re}v+\cos(\varrho t)\operatorname{Im}v) \,, $

Lösungen. Falls eine Basis aus Eigenvektoren existiert, erhält man durch Bilden von Linearkombinationen die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Die Koeffizienten werden eindeutig durch eine Anfangsbedingung festgelegt.

Erläuterung:

[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013