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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Unstetigkeit, stetige Fortsetzung

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Die Funktion

$\displaystyle f(x)=\sin(1/x)$

ist unstetig bei 0, da sie für $ x\rightarrow0$ zwischen $ -1$ und $ 1$ oszilliert.

$ f(x)=\sin(1/x)$   $ g(x)=x\sin(1/x)$
\includegraphics[height=4.5cm]{sin1_x_1.eps}   \includegraphics[height=4.5cm]{xsin1_x_1.eps}

Hingegen ist die Definitionslücke der Funktion

$\displaystyle g(x)=x\sin(1/x)$

bei $ x=0$ hebbar.

Aus

$\displaystyle 0 \leq \vert x\sin(1/x)\vert \leq \vert x\vert$

folgt mit $ \lim\limits_{x\rightarrow 0} \vert x\vert =0 $ aufgrund des Vergleichskriteriums

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x\sin(1/x) =0.$

Deshalb läßt sich $ g$ durch Setzen von

$\displaystyle g(0)=0$

zu einer auf ganz $ \mathbb{R}$ stetigen Funktion ergänzen.

(Autoren: App/Höllig )
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  4. 2008