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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Flugbahn einer Kanonenkugel

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Die Flugbahn einer Kanonenkugel mit der Anfangsgeschwindigkeit $ v = (v_x, v_y)$ soll berechnet werden, wobei der Einfluss der Schwerkraft berücksichtigt wird. Es ergibt sich die Ortsfunktion

$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle = v_xt,$    
$\displaystyle y(t)$ $\displaystyle = v_y t - \frac{1}{2} g t^2.$    

Gesucht sind die unbekannten Größen $ v_y$ und $ g$ , die aus den folgenden Messdaten berechnet werden sollen:

$ i$ 1 2 3 4 5 6 7
$ t_i$ 0.1 0.4 0.5 0.9 1.0 1.2 2.0
$ y_i$ 0.96 3.26 3.82 5.11 5.2 5.05 0.58

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Normal_Glg_1.eps}

Daraus ergibt sich folgendes Minimierungsproblem:

$\displaystyle \left\Vert \begin{pmatrix} 0.96 \\ 3.26 \\ 3.82 \\ 5.11 \\ 5.2 \\... ... -2.0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} v_y \\ g \end{pmatrix} \right\Vert = \min $

Die Lösung dieses Problems über die Normalengleichung lautet:

$\displaystyle \left\Vert y - A \begin{pmatrix}v_y \\ g \end{pmatrix} \right\Vert = \min \quad$ $\displaystyle \Longleftrightarrow \quad A^{\top} A \begin{pmatrix}v_y \\ g \end{pmatrix} = A^{\top} y$    
  $\displaystyle \implies \quad \begin{pmatrix}7.6700 & -5.8235 \\ -5.8235 & 4.954... ...atrix}v_y \\ g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}20.3290 \\ -10.2087 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle \implies \quad \begin{pmatrix}v_y \\ g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10.096 \\ 9.8065 \end{pmatrix}.$    

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Normal_Glg_2.eps}
(Autoren: Hager/Wohlmuth)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 24.  4. 2006