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\documentclass{beamer}
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\usetheme[secheader]{Boadilla}
\begin{document}
\title[Newton-Verfahren]{Nullstellenbestimmung mit dem 
  Newton-Verfahren}
\author[E. Exempel et al.]{Emely Exempel \and Bodo Beispiel}
\institute{Mathematik-Online}
\date{17.~Juli 2006} 

\begin{frame}[shrink]
  \frametitle{Konvergenzordnung}
  \begin{Satz}[Quadratische Konvergenz]
    Für eine einfache Nullstelle $x_\star$ konvergiert die
    Newton-Iteration lokal quadratisch, d.h. 
    \[
    |x_{n+1}-x_\star| \leq c |x_{n}-x_\star|^2 
    \]
    für Startpunkte $x_0$ in einer hinreichend kleinen Umgebung 
    von $x_\star$. 
  \end{Satz}
  \pause
  \begin{Beweis}
    \begin{itemize}[<+->]
    \item Lineare Taylor-Approximation: $0=f(x_\star)=f(x_n)+
      f'(x_n)(x_\star-x_n)+r$ mit Restglied 
      $r=\frac{1}{2}\,f''(\xi_n)(x_\star-x_n)^2$, $\xi_n$
      zwischen $x_\star$ und $x_n$ 
    \item Einsetzen von $f(x_n)=f'(x_n)(x_n-x_\star)-r$ in
      Iterationsvorschrift ergibt
      $x_{n+1} = x_\star - r/f'(x_n)$.
    \item $|1/f'(x_n)|$ und $|f''(\xi_n)|$ sind für $x_n
      \approx x_\star$ aus Stetigkeitsgründen gleichmäßig
      beschränkt. Dies impliziert $|x_{n+1}-x_\star| \leq 
      c|x_n-x_\star|^2$ mit $c \approx -\frac{1}{2}\;
      \frac{f''(x_\star)}{f'(x_\star)}$.
    \end{itemize}
  \end{Beweis}
\end{frame}

\end{document}