Mathematik-Online-Lexikon: Länge einer Zykloide

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	Länge einer Zykloide

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Übersicht

Rollt ein Kreis mit Radius

auf der

-Achse ab, so beschreibt ein Randpunkt eine Zykloide.

$\includegraphics[width=\textwidth]{zykloide}$

Für den Ursprung als Startpunkt ist

$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} x(t) &=& t+r\cos(3\pi/2-t/r) = t-r\sin(t/r)\\ y(t) &=& r+r\sin(3\pi/2-t/r) = r-r\cos(t/r) \end{array} \right.,$

mit $t \in [0,2\pi r]$ , eine Parametrisierung eines Kurvenbogens.

Die Länge des Bogens ist

$\displaystyle L$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{2\pi r} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^{2\pi r} \sqrt{(1-\cos(t/r))^2 + (\sin(t/r))^2}\,dt\,.$