Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] Englische Flagge
Mathematik-Online-Lexikon:

Extremwertproblem

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Beispiel (Vgl. Abi 97/2 Analysis, BW):

Für welche $ t \in \mathbb{R}$ ist der Abstand des Punktes $ S_t(e^{t+1}+2e^{-t-1}/0)$ zum Ursprung minimal?


Für die Zielfunktion berechnet man den Abstand des Punktes $ S_t$ zum Ursprung, d.h. $ (e^{t+1}+2e^{-t-1})-0$

$\displaystyle d(t)$ $\displaystyle =e^{t+1}+2e^{-t-1} \qquad t \in \mathbb{R}$    
$\displaystyle d'(t)$ $\displaystyle =e^{t+1}-2e^{-t-1}$    
$\displaystyle d''(t)$ $\displaystyle =e^{t+1}+2e^{-t-1}$    

$ d'(t)=0$:

$\displaystyle e^{t+1}-2e^{-t-1}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle e^{2t+2}$ $\displaystyle =2$    
$\displaystyle 2t+2$ $\displaystyle =\ln2$    
$\displaystyle t$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\ln{2}-1$    

$ d''(\frac{1}{2}\ln{2}-1)=\frac{3}{2}\ln{2}>0$    Minimum


Art des Minimums:

$\displaystyle \lim_{t \to -\infty} d(t)$ $\displaystyle =\lim_{t \to -\infty} e^{t+1}+2e^{-t-1} \rightarrow \infty$    
$\displaystyle \lim_{t \to \infty} d(t)$ $\displaystyle =\lim_{t \to \infty} e^{t+1}+2e^{-t-1} \rightarrow \infty$    
$\displaystyle d(\frac{1}{2}\ln{2}-1)$ $\displaystyle =2\sqrt{2}$    

Es liegt somit ein absolutes Minimum vor.

(Autor: Jahn)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006