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Mathematik-Online-Lexikon:

Schachtel mit maximalem Volumen

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Mit Hilfe des angegebenen Schnittmusters soll eine Schachtel möglichst großen Volumens aus einem quadratischen Stück Pappe hergestellt werden.

\includegraphics[width=8.4cm]{bsp_schachtel_bild}

Das Volumen ist

$\displaystyle v(h) = \underbrace{(1-2h)/2}_{\text{L''ange}} \cdot \underbrace{(... ..._{\text{Breite}} \cdot \underbrace{h}_{\text{H''ohe}} = 2h^3-2h^2+\frac{1}{2}h $

Nullsetzen der Ableitung

$\displaystyle v^\prime(h)$ $\displaystyle = 6h^2-4h+\frac{1}{2} \stackrel{!}{=} 0$    

ergibt


$\displaystyle h$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \pm \sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{12}}=\frac{1}{3} \pm \frac{1}{6}$    

als mögliche lokale Extremstellen. Nur $ h=\frac{1}{6}$ ist geometrisch sinnvoll und

$\displaystyle v\left( 1/6 \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{27} \,.$

Da für die Randpunkte $ h=0$ und $ h=1/2$ das Volumen 0 ist, hat die Schachtel für $ h=1/6$ das maximale Volumen.
(Autoren: Höllig/Hörner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  4. 2008