Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Taylorentwicklung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Entwickle $ \mbox{$f(z) = z^2 + \frac{1}{z}$}$ um $ \mbox{$z_0 = 1$}$.

Konvergiert die entstehende Reihe im Punkt $ \mbox{$z = 3$}$?

Es ist $ \mbox{$f'(z) = 2z + (-1)^1 1! z^{-2}$}$, $ \mbox{$f''(z) = 2 + (-1)^2 2! z^{-3}$}$ und $ \mbox{$f^{(k)}(z) = (-1)^k k! z^{-(k+1)}$}$ für $ \mbox{$k\geq 3$}$. Also gilt

$ \mbox{$\displaystyle
f(z) = 2 + (z - 1) + 2(z-1)^2 + \sum_{j = 3}^\infty (-1)^j (z - 1)^j \; .
$}$
Es ist $ \mbox{$B_1(1)$}$ eine maximale Kreisscheibe um $ \mbox{$1$}$ im Definitionsgebiet $ \mbox{$\mathbb{C}\backslash \{ 0\}$}$. Also divergiert die Reihe im Punkt $ \mbox{$z = 3$}$.
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006