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Mathematik-Online-Lexikon:

Kurvendiskussion einer periodischen Funktion

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Zur Illustration einer Kurvendiskussion wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=\sin x + \frac{1}{3}\,\sin(3x)$

untersucht.

Symmetrie: Da $ \sin x=-\sin(-x)$ ist die Funktion ungerade.

Periodizität: Die Funktion ist wie die Sinusfunktion selbst $ 2\pi$ -periodisch und wird im Folgenden daher nur auf dem Intervall $ [-\pi,\pi]$ betrachtet.

Unstetigkeitsstellen: Die Funktion ist aus stetigen Funktionen zusammengesetzt und hat daher keine Unstetigkeitsstellen.

Nullstellen: Mit dem Additionstheorem $ \sin(3x) = 3\sin x -4\sin^3 x$ ist

$\displaystyle f(x) = 2 \sin x -\frac{4}{3}\,\sin^3 x = \sin x \underbrace{\left(2-\frac{4}{3}\sin^2 x \right)}_{\neq 0}. $

Die Funktion besitzt Nullstellen bei 0 und $ \pm \pi$ .

Extrema: Die Ableitung

$\displaystyle f'(x) = 2 \cos x -4\sin^2 x \,\cos x =-2\cos x +4\cos^3 x $

ist Null für $ \cos x =0$ oder $ \cos x =\pm 1/\sqrt{2}$ , also

$\displaystyle x=\pm \pi/2 \quad\vee\quad x=\pm \pi/4 \quad\vee\quad x= \pm 3\pi/4\,. $

Da die Funktion auf ganz $ \mathbb{R}$ definiert und periodisch ist, sind keine Randwerte zu betrachten. Aus dem Vorzeichen der zweiten Ableitung

$\displaystyle f''(x) = 2 \sin x -12 \cos^2 x \, \sin x $

und durch Vergleich der Funktionswerte läßt sich also der Typ der Extrema bestimmen:

\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert c\vert c\vert l} x & f(x) & f''(x) & \... ...\sqrt{8}/3 & -2\sqrt{2}<0 & \mbox{globales Maximum} \end{array}\end{displaymath}

Wendepunkte: Die zweite Ableitung

$\displaystyle f''(x) = 2\sin x -12\cos^2 x \,\sin x=-10\sin x +12\sin^3 x $

ist Null für $ \sin x =0$ oder $ \sin x =\pm \sqrt{5/6}$ , d.h.

$\displaystyle x=0 \quad\vee\quad x=\pm \pi \quad\vee\quad x\approx \pm 1.15 \quad\vee\quad x \approx \pm 1.99 $

Da die dritte Ableitung an diesen Stellen nicht verschwindet. Die Funktion $ f$ hat also Wendepunkte bei $ (0,0)$ und $ (\pm \pi,0)$ sowie näherungsweise bei $ (-1.99,-0.81)$ , $ (-1.15,-0.81)$ , $ (1.15,0.81)$ und $ (1.99,0.81)$ .

Polstellen: Die stetige Funktion besitzt keine Polstellen.

Asymptoten: Die Funktion ist periodisch und nicht konstant, hat also keine Asymptoten.

\includegraphics[width=10.4cm]{Kurvendiskussion_1.eps}

(Autoren: Höllig/Hörner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  4. 2008