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Mathematik-Online-Lexikon:

Vektorraum der Lösungen einer Differentialgleichungen

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Sei V die Menge aller beliebig oft stetig differenzierbarer Funktionen $ y= f(x)$ von $ \mathbb{R} $ nach $ \mathbb{R} ,$ die der Differentialgleichung

$\displaystyle y'' = -y $

genügen. Dann bilden diese einen Vektorraum über $ \mathbb{R} .$ Funktionen $ f$ und $ g$ addieren sich via

$\displaystyle (f + g) (x) := f(x) + g(x) $

und die Skalarmultipliaktion ist definiert durch

$\displaystyle (k \cdot f) (x) := k \cdot f(x) .$

Die Ableitungsregeln $ (f + g) ' = f' + g'$ bzw. $ (kf)' = k f'$ zeigen dann, daß mit $ f , g$ und $ k \in \mathbb{R}$ auch $ f + g$ bzw. $ k \cdot f$ eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Die Vektorraumaxiome lassen sich für $ V$ dann leicht nachrechnen.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006