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Mathematik-Online-Lexikon:

Tennis-Grand-Slam

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Bei einem Tennis-Turnier ist die Teilnehmerzahl üblicherweise eine Zweierpotenz $ 2^n$ ($ n=7$ bei einem Grand-Slam). Die Anzahl der Spiele bei K.O.-System beträgt $ 2^n-1$. Dies läßt sich mit vollständiger Induktion zeigen.

Induktionsanfang ($ n=1$): Bei $ 2 = 2^1$ Teilnehmern gibt es genau $ 2^1-1 = 1$ Paarungen. Die Behauptung ist also für $ n=1$ richtig.

Induktionsschluß ($ n\to n+1$): Angenommen die Behauptung ist für $ 2^n$ Teilnehmer richtig. Dann lassen sich $ 2^{n+1}$ Teilnehmer in zwei Gruppen zu je $ 2^n$ Teilnehmern einteilen. Nach Induktionshypothese gibt es in jeder Gruppe $ 2^n-1$ Paarungen, also insgesamt $ 2 \cdot (2^n-1)$. Die Sieger der beiden Gruppen treffen dann in einer letzten Paarung aufeinander, so daß es bei $ 2^{n+1}$ Teilnehmern

$\displaystyle 2 \cdot (2^n-1) + 1 = 2^{n+1}-1 $

Paarungen gibt.

Man kann in diesem Beispiel die Lösung mit einem anderen Argument schneller finden. Wegen des K.O.-Systems verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau einmal. Jedes Spiel hat genau einen Verlierer. Also gibt es ein Spiel weniger als die Teilnehmerzahl.

Der Alternativbeweis läßt sich auch auf Teilnehmerfelder beliebiger Größe anwenden ( z.B. wenn es Freilose gibt). Der Beweis zeigt, daß es bei $ m$ Teilnehmern $ m-1$ Spiele gibt. Man sieht, daß vollständige Induktion nicht immer die beste Beweismethode ist.

Der Fall $ n=3$ ist anhand der letzten $ 3$ Runden des Wimbledon-Turniers von 1985 illustriert, das Boris Becker im Alter von 17 Jahren gewann.

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(Autoren: Höllig/Hörner/Kimmerle)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  6. 2007