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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Pseudo-Inverse

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Es soll das Ausgleichproblem für

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{rrr} 2 & -4 & 5 \\ 6 & 0 & 3 \\ 2 & -4 &... ...right),\quad b = \left(\begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right)\, $

gelöst werden.

Zur Berechnung der Singulärwert-Zerlegung bestimmt man zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren von

$\displaystyle A^{\operatorname t}A = \left(\begin{array}{rrr} 80 & -16 & 56 \\ -16 & 32 & -40 \\ 56 & -40 & 68 \end{array}\right) $

und erhält

$\displaystyle s_1^2 = 144,\, s_2^2 = 36,\, s_3^2=0,\quad V = \frac{1}{3} \left(\begin{array}{rrr} 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{array}\right)\, . $

Daraus folgt

$\displaystyle S = \left(\begin{array}{rrr} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & ... ... & -3 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \\ 6 & -3 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \end{array}\right) = US\, . $

Die ersten zwei Spalten von $ U$ erhält man durch Division der entsprechenden Spalten von $ AV$ durch die singulären Werte (dabei müssen Einheitsvektoren entstehen), die restlichen Spalten (nicht eindeutig bestimmt) durch Ergänzen zu einer orthonormalen Basis:

$\displaystyle U = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right). $

Damit ist die Pseudo-Inverse

$\displaystyle A^+ = V \left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 \\ 0 ... ...{rrrr} -2 & 6 & -2 & 6 \\ -5 & 3 & -5 & 3 \\ 4 & 0 & 4 & 0 \end{array}\right) $

und

$\displaystyle x = A^+b = \frac{1}{4}\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) $

die Lösung minimaler Norm.
(Autoren: App/Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 28.  4. 2010