Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Existenz eines Potentials

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	Beispiel: Existenz eines Potentials

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Zu bestimmen ist das Potential des ebenen Vektorfelds

$\begin{displaymath} \vec{F}(x,y)=\left( \begin{array}{c} \sin y\\ x\cos y \\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}$

Als festen Punkt wählen wir den Ursprung und als Kurve von nach die direkte Verbindung

$\begin{displaymath} C_P:\quad \vec{r}(t)=\left( \begin{array}{c} p_1t\\ p_2t\\ \end{array}\right),\quad t\in[0,1]\,. \end{displaymath}$

Für die Potentialfunktion

erhalten wir dann

$\displaystyle U(P)$	$\displaystyle = \int\limits_{C_P} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int\limits_0^1 \left... ...rray}\right) \cdot \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2\\ \end{array}\right) \,dt$
	$\displaystyle = \int\limits_0^1 p_1\sin(p_2t) +p_1p_2t\cos(p_2t)\,dt = \left[p_1t\sin(p_2t)\right]_0^1 = p_1\sin p_2\,.$

automatisch erstellt am 9. 10. 2013