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Mathematik-Online-Lexikon:

Real- und Imaginärteil

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Sei $ \mbox{$z = 2 + \mathrm{i}$}$. Berechne $ \mbox{${\operatorname{Re}}(z^3)$}$, $ \mbox{${\operatorname{Im}}(1/z)$}$ und $ \mbox{$\vert z^{10}\vert$}$.

Lösung.

Es wird $ \mbox{$(2 + \mathrm{i})^3 = 8 + 3\cdot 4\mathrm{i}+ 3\cdot 2\mathrm{i}^2 + \mathrm{i}^3 = 2 + 11\mathrm{i}$}$, und insbesondere $ \mbox{${\operatorname{Re}}(z^3) = 2$}$.

Ferner wird

$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{2 + \mathrm{i}} = \frac{2 - \mathrm{i}}{(2 + \mathrm{i})(2 - \mathrm{i})} = \frac{2 -\mathrm{i}}{5}\; , $}$
und insbesondere $ \mbox{${\operatorname{Im}}(1/z) = -1/5$}$.

Schließlich ist $ \mbox{$\vert z^{10}\vert = (\vert z\vert^2)^5 = 5^5 = 3125$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006