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Mathematik-Online-Lexikon:

Kreisfläche

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Berechne die Fläche eines Kreises mit Radius $ \mbox{$1$}$ unter Zuhilfenahme von $ \mbox{$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$}$.

Lösung.

Wir erhalten mit partieller Integration

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_{-1}^{+1} \sqrt{1 - x^2} \,{\mbo... ... = & - \int_{-1}^{+1} \sqrt{1 - x^2} \,{\mbox{d}}x + \pi\; , \\ \end{array}$}$
und also
$ \mbox{$\displaystyle \int_{-1}^{+1} \sqrt{1 - x^2} \,{\mbox{d}}x \; =\; \pi/2\; . $}$
Die gesuchte Fläche ergibt sich zu $ \mbox{$2\cdot \pi/2 = \pi$}$.

Alternativ, wir erhalten mit der Substitution $ \mbox{$x = \sin u$}$

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_{-1}^{+1} \sqrt{1 - x^2} \,{\mbo... ...sin(2u)]_{-\pi/2}^{+\pi/2} \vspace*{2mm}\\ & = & \pi/2\; . \\ \end{array}$}$
Alternativ erhält man hier im dritten Schritt mit partieller Integration
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} (\cos u)^2\,{\... ... & = & \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} (1 - \cos^2 u)\,{\mbox{d}}u\; ,\\ \end{array}$}$
woraus ebenfalls
$ \mbox{$\displaystyle 2\int_{-\pi/2}^{+\pi/2} (\cos u)^2\,{\mbox{d}}u \; = \; \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} 1 \; =\; \pi $}$
folgt.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006