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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Interpolationspolynom in Lagrange-Form

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Funktionswerte $ f_k$ an $ n+1$ paarweise verschiedenen Stützstellen $ x_0,\ldots,x_n$ können eindeutig durch ein Polynom $ p$ vom Grad $ \le n$ interpoliert werden:

$\displaystyle p(x_k) = f_k,\quad k=0,\ldots,n \,. $

Das Interpolationspolynom lässt sich in der Lagrange-Form

$\displaystyle p(x) = \sum_{k=0}^n f_k q_k(x),\quad q_k(x) = \prod_{j\ne k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}, $

darstellen.

\includegraphics[width=.45\linewidth]{interpolation_Bild}

Die Polynome $ q_k$ werden als Lagrange-Polynome bezeichnet. Sie haben im Punkt $ x_k$ den Wert $ 1$ und verschwinden an allen anderen Punkten $ x_j$:

$\displaystyle q_{k}(x_{j})=\delta_{k,j}$

mit $ \delta$ dem Kronecker-Symbol.

Für die Lagrange-Polynome gilt

$\displaystyle q_k(x_j) = \delta_{j,k} \,, $

und damit folgt

$\displaystyle p(x_j) = \sum_k f_k \delta_{j,k} = f_j \,. $

Die Interpolationsbedingungen sind also erfüllt.

Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nimmt man an, dass ein weiteres Interpolationspolynom $ \tilde{p}$ existiert, und betrachtet die Differenz

$\displaystyle p - \tilde p\,. $

Diese hat (mindestens) $ n+1$ Nullstellen,

$\displaystyle (p - \tilde p)(x_k) = 0,\quad k=0,\ldots,n \,, $

ist aber (höchstens) vom Grad $ n$. Damit muss die Differenz identisch null sein, die Polynome unterscheiden sich also nicht.

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  automatisch erstellt am 14.  6. 2016