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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Division komplexer Zahlen

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Der Quotient $ z_1/z_2$ zweier komplexer Zahlen

$\displaystyle z_k = x_k + \mathrm{i} y_k = r_k \exp(\mathrm{i}\varphi_k) $

ist

$\displaystyle \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\,\mathrm{i} = \frac{r_1}{r_2}\exp(\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2))\, . $

Speziell ist

$\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{r^2} \bar z = \frac{1}{r} \exp(-\mathrm{i}\varphi) = \frac{x}{r^2} - \frac{y}{r^2}\,\mathrm{i} \,. $

Der Kehrwert einer komplexen Zahl läßt sich durch Spiegelung am Einheitskreis $ C$ konstruieren, wie in der Abbildung veranschaulicht ist.

\includegraphics[height=6cm]{a_division_bild}

Die komplex konjugierte Zahl $ w=\bar z$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks aus den Tangenten an $ C$ durch den Punkt $ z$ und den rechtwinklig schneidenden Radii. Die Zahl $ z$ erhält man dann durch Spiegelung an der reellen Achse.

Mit $ z_k = x_k + \mathrm{i} y_k = r_k \exp (i \varphi_k)$ gilt für den Quotient zweier komplexer Zahlen:

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x_1+\mathrm{i} y_1 }{x_2 + \mathrm{i} y_2 } = \frac{(x_1 +\mathrm{i}y_1)(x_2-\mathrm{i}y_2)} {(x_2+\mathrm{i}y_2)(x_2-\mathrm{i}y_2)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(x_1x_2+y_1y_2) + (x_2y_1 - x_1y_2)\mathrm{i}} {x_2^2+y_2^2}$  

bzw.

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1 \exp (\mathrm{i} \varphi_1)}{r_2 \ex... ..._2)} = \frac{r_1}{r_2} \exp (\mathrm{i} \varphi_1 - \mathrm{i} \varphi_2)\, . $

Insbesondere erhält man

$\displaystyle \frac{1}{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x + \mathrm{i} y} = \frac {x - \mathrm{i} y}{(x + \mathrm{i} y)(x - \mathrm{i}y)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\bar {z}}{x^2+y^2} = \frac{\bar{z}}{r^2} = \frac{1}{r} \ \exp(-\mathrm{i} \varphi) \,.$  

Die geometrische Konstruktion basiert auf dem Theorem von Pythagoras. Daraus folgt

$\displaystyle \vert w\vert\,\vert z\vert = 1^2 \,, $

d.h. $ w$ hat den korrekten Betrag. Spiegelung an der reellen Achse ändert dann das Vorzeichen des Arguments, so dass

$\displaystyle \operatorname{arg} \bar w = \operatorname{arg} (1/z) $

wie behauptet.

(Autoren: Höllig/Kopf)
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  automatisch erstellt am 11.  6. 2007