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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Jacobi-Verfahren

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Ein elementares lineares Iterationsverfahren für ein lineares Gleichungssystem $ Ax=b$ ist das Jacobi-Verfahren. Hierbei wird die Inverse der Diagonalen $ D$ von $ A$ als Approximation von $ A^{-1}$ verwendet. Ein Schritt $ x_\ell =y \rightarrow z=x_{\ell+1}$ des Verfahrens hat also die Form

$\displaystyle z = y-D^{-1}Ay +D^{-1}b $

mit der Iterationsmatrix $ Q=E-D^{-1}A$. Ausführlicher ist für eine $ n \times n$-Matrix $ A$

$\displaystyle z_j = (b_j - \sum \limits_{k \ne j} a_{j,k}y_k)/a_{j,j}, \quad j = 1,\dots,n. $

Ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens zur Lösung eines linearen Gleichungssystems $ Ax=b$ ist, dass die Koeffizientenmatrix $ A$ diagonaldominant ist, d. h.

$\displaystyle \vert a_{k,k} \vert > \sum\limits_{\ell\neq k} \vert a_{k,\ell}\vert\,. $

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013