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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Hyperbel


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Für die Punkte $ P=(x,y)$ auf einer Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei Brennpunkten $ F_{\pm}$ konstant:

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert - \vert\overrightarrow{PF_+}\vert
= \pm 2 a
$

mit $ 2a<\vert\overrightarrow{F_-F_+}\vert$ .

\includegraphics[
width=8.4cm
]{a_hyperbel}

Ist $ F_{\pm}=(\pm f,0)$ , so gilt für die Koordinaten

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad
b^2 = f^2 - a^2\,
,
$

und

$\displaystyle r^2 = -\frac{b^2}{1-(f/a)^2\cos^2\varphi}
$

für die Polarkoordinaten der Punkte $ P$ . Die Asymptoten haben die Steigung $ \pm b/a$ .

Parametrisierungen der Hyperbeläste sind

$\displaystyle x=\pm a \cosh t,\quad y=b\sinh t
$

mit $ t\in\mathbb{R}$ .


Die Äquivalenz der Darstellungen kann man durch direktes Nachrechnen überprüfen.

Um zu zeigen, dass

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert - \vert\overrightarrow{PF_+}\vert...
...{\displaystyle{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}},\quad
b^2 = f^2 - a^2\,,$

quadriert man

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{(x+f)^2 + y^2}\pm 2a}_{> 0} =
\sqrt{(x-f)^2 + y^2}
$

und erhält die zur linken Gleichung äquivalente Beziehung

$\displaystyle \underbrace{4a^2 + 4xf}_{>0} =
\pm 4a \sqrt{(x+f)^2 + y^2}\,
.
$

Erneutes Quadrieren nach Division durch $ 4a$ liefert

$\displaystyle a^2 + 2xf + \frac{f^2}{a^2} x^2 =
x^2 + 2xf + f^2 + y^2\,
.
$

Mit Substitution von $ f^2 = a^2+b^2$ ergibt sich nach Umformung die Koordinatenform.

Zur Herleitung der Polarform

$\displaystyle r^2 = -\frac{b^2}{1-(f/a)^2\cos^2 \varphi }
$

multipliziert man mit dem Nenner und berücksichtigt

$\displaystyle x^2 = (x^2 + y^2)\cos^2 \varphi\,
.
$

Damit folgt

$\displaystyle x^2 + y^2 - \frac{a^2+b^2}{a^2} x^2 = -b^2
$

und Division durch $ -b^2$ ergibt die Koordinatenform.

(Autoren: App/Höllig )

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  automatisch erstellt am 28.  3. 2008