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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Leibniz-Kriterium

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Die alternierende Reihe

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty{(-1)^k a_k} = a_0 - a_1 +a_2 - a_3 \pm \cdots $

konvergiert, falls $ (a_k)$ eine monotone Nullfolge ist. Für den Reihenrest gilt

$\displaystyle 0 \leq \vert\sum_{k=n+1}^\infty{(-1)^k a_k}\vert \leq \vert a_{n+1}\vert. $

Der Betrag einer alternierenden Summe kann also immer durch den Betrag des ersten Summanden abgeschätzt werden.

Aufgrund der Abschätzung

$\displaystyle \vert s_m-s_n\vert=\vert a_{n+1}-a_{n+2}+\ldots - a_m\vert\leq \vert a_{n+1}\vert $

ist das Cauchy-Kriterium erfüllt, und für $ m\rightarrow\infty$ folgt die Abschätzung der Restsumme.

Zum Beweis dieser Ungleichung, die die Abschätzng für den Reihenrest impliziert, nimmt man o.B.d.A. $ a_{n+1}\geq 0$ an und schätzt $ s_m-s_n$ durch

$\displaystyle a_{n+1}-\underbrace{(a_{n+2}-a_{n+3})}_{\geq 0}-\underbrace{(a_{n+4}-a_{n+5})}_{\geq 0}-\ldots \leq a_{n+1} $

nach oben und durch

$\displaystyle \underbrace{(a_{n+1}-a_{n+2})}_{\geq 0}+ \underbrace{(a_{n+3}-a_{n+4})}_{\geq 0} + \ldots \geq -a_m \geq -a_{n+1} $

nach unten ab.

(Autoren: Höllig/Apprich )
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008