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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Volumenelement in Kugelkoordinaten

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Für die Koordinatentransformation

$\displaystyle x = r\sin\vartheta\cos\varphi,\quad y = r\sin\vartheta\sin\varphi,\quad z = r\cos\vartheta $

ist

$\displaystyle dx\,dy\,dz = r^2 \sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi \,. $

Insbesondere gilt damit für das Integral einer Funktion $ f$ auf einer Kugel $ K: \; 0 \le r \le R$

$\displaystyle \int\limits_K f = \int\limits_0^{2 \pi}\int\limits_0^{\pi} \int\l... ..._0^{R} f(r,\vartheta,\varphi)\,r^2 \sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi \,. $

Speziell ist für eine radialsymmetrische Funktiopn $ f(r)$

$\displaystyle \int\limits_K f = 4\pi \int\limits_0^R f(r) r^2 dr\,. $

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013