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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu | |
Additionstheoreme von Sinus und Cosinus |
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Für die Kreisfunktionen und gelten folgende Beziehungen:
Insbesondere ist
(i) Elementargeometrischer Beweis:
Für wird die folgende Konstruktion betrachtet.
Im Dreieck gilt
Analog argumentiert man für andere Winkelbereiche oder und erhält so das Additionstheorem für den Cosinus.
Das Additionstheorem des Sinus folgt hieraus mit den Beziehungen
(ii) Beweis mit Hilfe der Differentialrechnung:
Man setzt zunächst
(iii) Beweis mit der Formel von Euler-Moivre:
Mit der Formel von Euler-Moivre kann man die Exponentialfunktion auch für komplexe Zahlen definieren:
automatisch erstellt am 25. 1. 2006 |