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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Fluss durch einen Funktionsgraph

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Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes $ \vec{F}(x,y,z)$ durch den Graph $ {S}$ einer differenzierbaren skalaren Funktion $ z=f(x,y)$ nach oben über dem Definitionsgebiet $ D\subseteq \mathbb{R}^2$ ist

$\displaystyle \iint\limits_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iint\limits_D -F_x \partial_x f-F_y \partial_yf+F_z\,dxdy\,. $

Die angegebene Formel folgt aus der Definition des Flussintegrals, wenn man $ S$ in der Form

$\displaystyle S: (u,v)\rightarrow \vec{r}(u,v)= \left( \begin{array}{c}x(u,v)\\... ... \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}u\\ v\\ f(u,v) \end{array}\right) $

parametrisiert. Es ist dann

$\displaystyle \partial_u \vec{r} = \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \partial_u f\... ...\left(\begin{array}{c}- \partial_u f\\ -\partial_v f\\ 1\end{array}\right)\, , $

und damit


    \begin{displaymath}\iint\limits_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot \vec{n}(u,v)\,dudv... ...} -\partial_u f\\ -\partial_v f\\ 1\\ \end{array}\right)\,dudv\end{displaymath}  
    $\displaystyle \quad = \iint\limits_D -F_x \partial_u f-F_y \partial_v f+F_z\,dudv \,.$  

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  automatisch erstellt am 2. 10. 2013