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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Integralsatz von Stokes

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Ist $ \vec{F}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer regulären Fläche $ S$ mit orientiertem Rand $ C$, so gilt

$\displaystyle \iint\limits_S \operatorname{rot} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \int\limits_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\,. $

Die Glattheitsvoraussetzungen an $ \vec{F}$ und $ S$ können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert.

Die Identität kann mit Hilfe eines geeigneten ebenen Vektorfeldes auf die Kettenregel und den Satz von Stokes in der Ebene zurückgeführt werden.

Für ein Vektorfeld $ \vec{F}=(F_1,F_2,F_3)^{\operatorname t}$ und eine Parametrisierung der Fläche

\begin{displaymath} S:\quad \vec{r}(u,v)=\left( \begin{array}{c} r_1(u,v)\\ r_2(u,v)\\ r_3(u,v) \end{array}\right)\,,\quad (u,v)\in A\,, \end{displaymath}

mit Randkurve

\begin{displaymath} C:\quad \vec{c}(t)=\vec{r}(u(t),v(t))=\left( \begin{array}{c... ...\\ r_3(u(t),v(t)) \end{array}\right)\,,\quad t\in[t_0,t_1]\,, \end{displaymath}

ist

$\displaystyle \left(\operatorname{rot} \vec{F}\right)(\vec{r})=\sum\limits_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} (\partial_j F_k)(\vec{r})\,\vec{e}_i \,, $

$\displaystyle \vec{n}(u,v) = \sum\limits_{l,m,n=1}^3 \varepsilon_{lmn} \, \partial_u r_m\,\partial_v r_n\,\vec{e}_l $

und

$\displaystyle c_i'(t)= (\partial_u r_i)(u(t),v(t))u'(t)+(\partial_v r_i)(u(t),v(t))v'(t),\quad i=1,2,3\,. $

Berücksichtigt man die Orthogonalität der Einheitsvektoren $ \vec{e}_i\cdot \vec{e}_l=\delta_{i,l}$ und entfernt die Terme, bei denen das Produkt $ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}$ der $ \varepsilon$-Tensoren gleich null ist, so erhält man

$\displaystyle I_S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(\operatorname{rot} \vec{F}\right)(\vec{r}) \cdot\vec{n}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^3 \sum\limits_{\overset{\scriptstyle k=1}{k\neq... ...style k=1}{k\neq j}}^3 (\partial_j F_k)(\vec{r})\,\partial_u r_k\,\partial_vr_j$  

für den Integranden des Flussintegrals und
$\displaystyle I_C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{F}(\vec{r}(u(t),v(t)))\cdot \vec{c}\,'(t) = \sum\limits_{k=1}^3 F_k\left(\partial_u r_k\, u'+\partial_v r_k\,v'\right)$  

für den Integranden des Arbeitsintegrals.

Andererseits gilt für das ebene Vektorfeld

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}G_1(u,v)\\ G_2(u,v)\end{array}\right) =\lef... ...s_{k=1}^3 F_k(\vec{r}(u,v))\left(\partial_v r_k\right)(u,v) \end{array}\right) $

nach dem Satz von Stokes in der Ebene

$\displaystyle \iint\limits_A \partial_u G_2-\partial_vG_1\,dA = \int\limits_{t_0}^{t_1} G_1(u(t),v(t))u'(t)+G_2(u(t),v(t))v'(t) dt\,. $

Der Integrand der rechten Seite ist dabei

$\displaystyle G_1\,u'+G_2 v'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^3 F_k\,\partial_u r_k\,u' +\sum\limits_{k=1}^3 F_k\,\partial_v r_k\,v'$  

und somit gleich $ I_C$. Der Integrand der linken Seite ist aufgrund der Kettenregel gleich
$\displaystyle \partial_u G_2 -\partial_vG_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 \left(\partial_j F_k\right)(\vec{r}) \partial_u r_j\,\partial_v r_k$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^3 F_k(\vec{r}) \partial_u \partial_v r_k$  
  $\displaystyle -$ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 \left(\partial_j F_k\right)(\vec{r}) \,\partial_v r_j\partial_u r_k$  
  $\displaystyle -$ $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^3 F_k(\vec{r}) \,\partial_v \partial_u r_k$  

und ergibt nach Vereinfachung $ I_S$.
(Autoren: App/Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006