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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Orthogonalität bei Kosinus und Sinus

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Die Funktionen

$\displaystyle 1\,,\quad \cos(kx)\,,\quad \sin(kx)\,,\quad k>0 \,, $

bilden ein Orthogonalsystem im Raum der quadratintegrierbaren $ 2\pi$-periodischen Funktionen:

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi \cos(jx)\cos(kx)\,dx = \int\limits_{-\pi}^... ...sin(lx)\,dx = \int\limits_{-\pi}^\pi \sin(jx)\sin(kx)\,dx = 0,\quad j\ne k \,, $

und

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(kx)\,dx = \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)\,dx = \pi,\quad k>0\,. $

Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen. So erhält man z. B. mit

$\displaystyle \frac{1}{2}\left(\cos\left(\left(j-k\right)x\right)+\cos\left(\left(j+k\right)x\right)\right) = \cos(jx)\cos(kx) $

für $ j\neq k$
$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\, \cos(jx)\cos(kx)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left( \int\limits_{-\pi}^\pi \cos((j-k)x)\,dx + \int\limits_{-\pi}^\pi \cos((j+k)x)\,dx \right)= 0\,.$  

Durch die Periodizität von $ \sin(kx)$ und $ \cos(kx)$ ist

$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)\,dx = \int\limits_{-\pi}^\pi\co... ...s_{-\pi-\frac{\pi}{2k}}^{\pi-\frac{\pi}{2k}} \cos^2(k\tilde{x})\,d\tilde{x}\,. $

Nach Verschieben des Integrationsintervalles des rechten Integrals um $ \frac{\pi}{2k}$ folgt
$\displaystyle \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(kx)+\sin^2(kx)\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( \int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(kx)\,dx + \int\li... ...i}^\pi\sin^2(kx)\,dx \right) = \frac{1}{2} \int\limits_{-\pi}^\pi \,dx = \pi\,.$  

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  automatisch erstellt am 7. 11. 2013