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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cauchy-Schwarz Ungleichung in reellen Vektorräumen

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Für beliebige $ a_i,b_i \in \mathbb{R}$ gilt

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) $

Für beliebige $ \lambda, \mu \in{\mathbb{R}}$ gilt:

0 $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda a_i+\mu b_i)^2$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n (\lambda^2 a_i^2 + 2\lambda \mu a_i b_i + \mu^2 b_i^2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda^2 \underbrace{\sum_{i=1}^n a_i^2}_{\displaystyle A} + 2\l... ..._i}_{\displaystyle C} + \mu^2 \underbrace{\sum_{i=1}^n b_i^2}_{\displaystyle B}$  

Die Behauptung lautet dann $ C^2 \leq A \cdot B$. Ist $ A = 0$ oder $ B = 0$, so folgt daraus auch $ C = 0$ und die Behauptung ist richtig.

Nun sei angenommen, daß $ A \neq 0$ und $ B \neq 0$ gilt. Man wählt $ \lambda = \sqrt B$ und $ \mu = \varepsilon\sqrt A$, wobei $ \varepsilon \in \{-1, 1\}$ und $ \varepsilon C \leq 0$. Diese Wahl ist immer möglich. Dann ist

0 $\displaystyle \leq$ $\displaystyle \lambda^2 A + 2\lambda\mu C + \mu^2 B$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle BA + 2\sqrt{B}\varepsilon\sqrt{A} C + \underbrace{\varepsilon^2}_{\displaystyle =1} AB$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2AB + 2\sqrt{A}\sqrt{B}\varepsilon C$  

Nach Division durch $ 2\sqrt A \sqrt B \neq 0$ erhält man

$\displaystyle 0 \leq \sqrt{A}\sqrt{B} + \varepsilon C $

Daraus und mit der Definition von $ \varepsilon$ ergibt sich

$\displaystyle 0 \leq -\varepsilon C \leq \sqrt A \sqrt B \qquad \Longrightarrow \qquad \varepsilon^2 C^2 = C^2 \leq A B $

(Aus: Lineare Algebra und Geometrie, Kimmerle)
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  automatisch erstellt am 25.  1. 2006