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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Faltung und Fourier-Transformation

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Die Faltung zweier Funktionen,

$\displaystyle (f\star g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\,dt\,, $

wird durch die Fourier-Transformation in ein Produkt überführt:

$\displaystyle \widehat{f\star g} = \hat{f}\hat{g} \,. $

Formal folgt die Identität unmittelbar aus der Definition. Danach ist die linke Seite

$\displaystyle \widehat{f\star g}(y) = \int\limits_{-\infty}^\infty \int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)e^{-\mathrm{i}yx}\,dt\,dx \,. $

Schreibt man

$\displaystyle e^{-\mathrm{i}yx} = e^{-\mathrm{i}y(x-t)} e^{-\mathrm{i}yt} $

und substituiert

$\displaystyle z = x-t,\quad dz = dx \,, $

so erhält das Integral die Produktform

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty f(z)e^{-\mathrm{i}yz}\,dz\, \int\limits_{-\infty}^\infty g(t)e^{-\mathrm{i}yt}\,dt \,, $

die mit der rechten Seite der zu beweisenden Identität übereinstimmt.
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  automatisch erstellt am 13. 11. 2013