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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Formel von Euler-Moivre

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Die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument lässt sich mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ausdrücken:

$\displaystyle \cos t + \mathrm{i} \sin t = \exp (\mathrm{i} t) $

für $ t \in \mathbb{R}$. Der Kosinus und der Sinus entsprechen also dem Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag $ 1$ ( $ \vert\exp(\mathrm{i}t)\vert=1$).

Invertiert man die obige Formel, so folgt

$\displaystyle \cos t$ $\displaystyle = \mathrm{Re}\; e^{\mathrm{i} t} = \frac{1}{2}\left( e^{\mathrm{i} t}+ e^{-\mathrm{i} t} \right)$    
$\displaystyle \sin t$ $\displaystyle = \mathrm{Im} \;e^{\mathrm{i} t} = \frac{1}{2 \mathrm{i}}\left( e^{\mathrm{i} t}-e^{-\mathrm{i} t} \right) \,.$    

Die Identitäten zwischen $ \exp$, $ \cos$ und $ \sin$ gehen auf Euler and Moivre zurück. Sie bilden die Grundlage für die geometrische Interpretation komplexer Zahlen und spielen in der Fourier-Analysis eine wichtige Rolle.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013