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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Cholesky Faktorisierung

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Eine symmetrische positiv definite Matrix $ S$ besitzt eine eindeutige Faktorisierung

$\displaystyle S= R^{\operatorname t} R\,, $

wobei $ R$ eine obere Dreiecksmatrix mit positiven Diagonaleinträgen ist.

Die Faktorisierung kann durch sukzessives Lösen der Gleichungen

$\displaystyle s_{j,k} = r_{1,j} r_{1,k} + \cdots + r_{j,j} r_{j,k} \,, \quad k \geq j, $

für $ j= 1, 2, \hdots$ bestimmt werden. Für jedes $ j$ wird zuerst

$\displaystyle r_{j,j} = \sqrt{s_{j,j}-\sum\limits_{i<j}r_{i,j}^2} $

berechnet und dann simultan für $ k=j+1 , \hdots , n$,

$\displaystyle r_{j,k}= \left( s_{j,k} - \sum\limits_{i<j} r_{i,j} r_{i,k} \right)/ r_{j,j}\,. $

In beiden Fällen werden die vorher bestimmten Werte benutzt.

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013