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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Regel von l'Hospital

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Haben zwei stetig differenzierbare Funktionen $ f$ und $ g$ eine gemeinsame Nullstelle oder Polstelle in $ a$ , so gilt

$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} , $

falls der rechte Grenzwert existiert (gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn).

Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert ein $ t$ zwischen $ x$ und $ a$ mit

$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(t)}{g'(t)}\,,$

wenn man, im Sinne uneigentlicher Grenzwerte, $ f'(t)/0$ als $ \pm\infty$ interpretiert.

Da mit $ x\to a$ auch $ t \to a$ geht, ergibt sich sofort

$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \,. $

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008