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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Extremwerttest

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Der Typ eines Extremwerts lässt sich mit Hilfe höherer Ableitungen entscheiden.

\includegraphics[width=6cm]{extremwert.eps}

Ist $ f$ zweimal stetig differenzierbar und

$\displaystyle f^\prime(a) = 0\,, \qquad f^{\prime \prime} (a) > 0 \qquad (f^{\prime \prime} (a) < 0)\,, $

so hat $ f$ ein lokales Minimum (Maximum) bei $ a$ . Verschwindet die zweite Ableitung an der Stelle $ a$ , so müssen höhere Ableitungen zur Entscheidung herangezogen werden. Gilt

$\displaystyle f'(a) =f''(a)=\cdots=f^{(n-1)}(a)=0$   und$\displaystyle \quad f^{(n)}(a) \neq 0\,, $

so hat $ f$ in $ a$ genau dann eine Extremstelle, wenn $ n$ gerade ist. In diesem Fall hat $ f$ in $ a$ ein lokales Maximum bzw. Minimum, wenn $ f^{(n)}(a)<0$ bzw. $ f^{(n)}(a)>0$ ist.

Zum Beweis verwendet man das Taylor-Polynom vom Grad $ n-1$ zu $ f$ an der Stelle $ a$ mit dem Restglied

$\displaystyle f(x) - f(a)=\frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x-a)^n$

und berücksichtigt, dass $ f^{(n)}(t)$ und $ f^{(n)}(a)$ für $ x$ (und damit auch $ t$ ) genügend nahe bei $ a$ das gleiche Vorzeichen besitzen.

Für $ n$ ungerade hat die rechte Seite der obigen Gleichung einen Vorzeichenwechsel beim Übergang von $ x<a$ zu $ x>a$ . Demzufolge hat auch $ f(x)-f(a)$ dort einen Vorzeichenwechsel und $ a$ ist keine Extremstelle von $ f$ .

Für $ n$ gerade ist immer $ (x-a)^n > 0$ für $ x\neq a$ . Im Fall $ f^{(n)}(a)<0$ ergibt sich $ f(x)< f(a)$ für $ x\neq a$ und $ x$ genügend nahe bei $ a$ . Die Funktion $ f$ besitzt in diesem Fall also ein lokales Maximum bei $ a$ . Der Fall $ f^{(n)}(a) >0$ liefert analog ein lokales Minimum.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 8.  4. 2008