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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1228: Eigenschaften linearer Abbildungen, Multiple Choice

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Seien $ V$ und $ W$ Vektorräume über einem Körper $ K$ und sei $ \phi : V \longrightarrow W$ eine lineare Abbildung. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Sind die Vektoren $ v_1, ..., v_n \, \in V$ linear unabhängig, dann sind es auch die Vektoren $ \phi(v_1), ..., \phi(v_n)$.

b)
Sind die Vektoren $ \phi(v_1), ..., \phi(v_n) \, \in W$ linear unabhängig, dann sind es auch die Vektoren $ v_1, ..., v_n$.

c)
Sind die Vektoren $ v_1, ..., v_n \, \in V$ linear abhängig, dann sind es auch die Vektoren $ \phi(v_1), ..., \phi(v_n)$.

d)
Ist $ V = W$, dann ist $ \phi$ genau dann injektiv, wenn $ \phi$ surjektiv ist.

e)
Ist $ V = W$, dim$ \left(V\right)<\infty$, dann ist $ \phi$ genau dann injektiv, wenn $ \phi$ surjektiv ist.

f)
Das Bild $ \phi(V)$ ist ein Untervektorraum von $ W$.

g)
Der Kern von $ \phi$ ist ein Untervektorraum von $ V$.

h)
Der Kern von $ \phi$ ist ein Untervektorraum von $ W$.

i)
$ \phi (0) = 0$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017