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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 1365 Variante 4: Taylor-Entwicklung von Funktionen mit zwei Veränderlichen

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Variante   

Bestimmen Sie zu Funktion

$\displaystyle f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash \{1 \} \rightarrow \mathbb{R} : (x,y) \mapsto \frac {(x-1)^2}{y-1} $

den Gradienten, die Hessematrix und das Taylorpolynom der Stufe 2 von $ f$ um den Entwicklungspunkt $ (0,0)$.

Antwort:

$ \mathrm{grad} \quad f(x,y) : $ keine Angabe

$ \left( \frac{e^x}{y-1},-\frac{e^x}{(y-1)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ ,     $ \left( -\frac{e^{-x}}{y+1},-\frac{e^{-x}}{(y+1)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ ,     $ \left( 2\frac{x+1}{1-y},\frac{(x+1)^2}{(1-y)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ ,     $ \left( 2\frac{x-1}{y-1},-\frac{(x-1)^2}{(y-1)^2}\right)^{{\operatorname t}}$ .

$ Hf(x,y) : $ keine Angabe

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} 2\frac{1}{y-1} & -2\frac{x-1}{(y-1)... ...-1}{(y-1)^2} & 2\frac{(x-1)^2}{(y-1)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} ,     \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} 2\frac{1}{1-y} & 2\frac{x+1}{(1-y)^... ...+1}{(1-y)^2} & 2\frac{(x+1)^2}{(1-y)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} ,     \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} \frac{e^{-x}}{y+1} & \frac{e^{-x}}{... ...-x}}{(y+1)^2} & 2\frac{e^{-x}}{(y+1)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} ,     \begin{displaymath}\left( \begin{array}{cc} \frac{e^x}{y-1} & -\frac{e^x}{(y-1)... ...ac{e^x}{(y-1)^2} & 2\frac{e^x}{(y-1)^3} \\ \end{array} \right)\end{displaymath} .

$ T_2(f, (x,y), (0,0)) = $ $ +$ $ x +$ $ y +$ $ x^2 +$ $ y^2 +$ $ xy$.
  

[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017