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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 377: Koordinatentransformation, Parameterdarstellung, Flächeninhalt und Schwerpunkt einer Fläche

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Im $ \mathbb{R}^3$ sei die Fläche $ S = \{(x,y,z) \vert (x+1)^2 + yz = 0, z \leq y \leq z + 2 \}$ gegeben.

a)
Berechnen Sie Funktionalmatrix $ A = \displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$ und Funktionaldeterminante $ \vert A \vert $ der Transformation $ y = u + w, \ x = v - 1, \ z = u - w .$

$ A=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$,          $ \vert A\vert=$

b)
Beschreiben Sie $ S$ in $ (u,v,w)$ - Koordinaten:

$ S = \{(u,v,w) \vert\ $ $ u^2+$$ uv+$$ v^2$=$ w^2$, $ \le w \le$$ \ \} $

Skizzieren Sie $ S$ im $ (u,v,w)$ - System:

Welche Skizze entspricht $ S$?

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild1.eps} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild2.eps}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild3.eps} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild4.eps}

c)
Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung $ (u,v,w)=X(r,\varphi)$ von $ S$ mit Hilfe von Zylinderkoordinaten und einen zugehörigen Normalenvektor $ N(r,\varphi) $.

keine Aussage
$ X(r,\varphi)=(\cos\varphi,\sin\varphi,r),r\in[0,1),\varphi\in[0,2\pi)$
$ X(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,1),r\in[0,1),\varphi\in[0,2\pi)$
$ X(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,r^2),r\in[0,1),\varphi\in[0,2\pi)$
$ X(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,r),r\in[0,1),\varphi\in[0,2\pi)$

keine Aussage
$ N(r,\varphi)=(r\cos\varphi,-r\sin\varphi,r)$
$ N(r,\varphi)=(-r\cos\varphi,r\sin\varphi,r)$
$ N(r,\varphi)=(-r\cos\varphi,-r\sin\varphi,r)$
$ N(r,\varphi)=(r\cos\varphi,r\sin\varphi,r)$

d)
Ergänzen Sie das Zweifach-Integral so, dass es den Flächeninhalt $ F(S)$ von $ S$ beschreibt und berechnen Sie $ F(S)$.
$ F(S)=$
$ \pi$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ \sqrt{\vphantom{\dfrac{1}{1}}}$ $ \cdot r\ dr~d\varphi= \sqrt{\vphantom{\dfrac{1}{1}}}$$ \cdot\pi$

e)
Berechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt $ SP$ von $ S$ im $ (u,v,w)$ - System.

$ u_{SP} =$,    $ v_{SP} =$,    $ w_{SP} =$ $ \Big/$

Wie lautet die $ z$ - Koordinate des Schwerpunkts von $ S$ im $ (x,y,z)$ - System ?

$ z_{SP} =$ $ \Big/$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017