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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 382: Grenzwert von Funktionen, Konvergenz einer Reihe

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Berechnen Sie

$ \displaystyle{a= \lim_{x \to 0} \ \frac{\sin\hspace*{0.05cm}(x^{2\,})}{\cos x -1} }$
$ \displaystyle{b= \lim_{x \to \infty} x^{-x} }$
Ist die Reihe $ \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^2} }$ konvergent oder divergent? Beweisen Sie Ihre Behauptung.

Lösung:

$ a=$

$ b=$
$ \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^2} }$ ist keine Angabe , konvergent , divergent .
Beweis: $ \displaystyle{\forall n\geq3: \frac{n-1}{n^2}>\frac{1}{2}\cdot 1/}$ . Aus der Konvergenz/Divergenz der Reihe folgt mit dem -Kriterium die Konvergenz/Divergenz von $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n^2}$ .

   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017