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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 413: Kritische Punkte und Skizze einer Funktion zweier Veränderlicher

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=(1-x^2-y)(1-x^2+y)x=x^5-2x^3-xy^2+x $

Skizzieren Sie im vorgegebenen Ausschnitt der $ xy$-Ebene die Kurven mit $ f(x,y)=0$ und geben Sie an, wo $ f(x,y) >0$ (Markierung mit +) oder $ f(x,y)<0$ (Markierung mit -) ist.

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild3} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild4}

Berechnen Sie $ f_x$ und $ f_y$.

$ f_x\ =\ $$ x^4+$$ x^2$+$ xy+$$ y^2$+

$ f_y\ =\ $$ x^4+$$ x^2$+$ xy+$$ y^2$+

Tragen Sie in die unten stehende Tabelle alle kritischen Punkte von $ f$ ein und kreuzen Sie deren Typ an. (Lassen Sie nicht benötigte Spalten leer.)

Punkt              
lokales Minimum              
lokales Maximum              
Sattelpunkt              

Geben Sie die kritischen Punkte in aufsteigender Reihenfolge an. (Beginnen Sie mit dem Punkt, der den kleinsten $ x$-Wert besitzt. Geben Sie bei gleichem $ x$-Wert den Punkt mit kleinerem $ y$-Wert zuerst an.)

$ x_1=$, $ y_1=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_2=$ $ \Big/\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$, $ y_2=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_3=$, $ y_3=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_4=$, $ y_4=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_5=$ $ \Big/\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$, $ y_5=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_6=$, $ y_6=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017