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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 419: Transformation auf Zylinderkoordinaten, Flächenberechnung, Schwerpunkt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ sei die Fläche $ S = \{(x,y,z) \ \vert \ (x-1)^2 + y^2 = 2z \ , \ 0 \leq z \leq \frac{3}{2} \}$ gegeben.

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung $ (x,y,z)=X(r,\varphi)$ von $ S$ mit Hilfe von Zylinderkoordinaten. Berechnen Sie $ X_r(r,\varphi), X_{\varphi}(r,\varphi)$ und für $ r \neq 0$ einen Normalenvektor $ N(r,\varphi) $ in $ X(r,\varphi).$

$ X(r,\varphi)\ =\ $ Kreuzen Sie die richtige Parametrisierung an.

keine Angabe    
$ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi \\ r\sin\varphi \\ 2r^2 \end{pmatrix}, \quad \varphi\in [0, 2\pi),r\in[0,\sqrt{3}] $ $ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi \\ r\sin\varphi \\ \frac{1}{2}r^2 \end{pmatrix}, \quad \varphi\in [0, 2\pi),r\in[0,\sqrt{3}] $
$ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi+1 \\ r\sin\v... ...i \\ \frac{1}{2}r^2 \end{pmatrix}, \quad \varphi\in [0, 2\pi),r\in[0,\sqrt{3}] $ $ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi-1 \\ r\sin\varphi \\ \frac{1}{2}r^2\end{pmatrix}, \quad \varphi\in [0, 2\pi),r\in[0,\sqrt{3}] $

$ N(r,\varphi)\ =\ $

keine Angabe    
$ \begin{pmatrix}-r^2\cos\varphi \\ -r^2\sin\varphi \\ r \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix}-r^2\cos\varphi \\ -r^2\sin\varphi \\ -r \end{pmatrix}$
$ \begin{pmatrix}-r^2\cos\varphi+1 \\ -r^2\sin\varphi \\ r \end{pmatrix}$ $ \begin{pmatrix}-r^2\cos\varphi-1 \\ -r^2\sin\varphi \\ -r \end{pmatrix}$

$ X_r(r,\varphi)\ = \qquad\qquad X_{\varphi}(r,\varphi)\ = $

Kreuzen Sie die richtigen partiellen Ableitungen an.

  keine Angabe 0 $ r$ $ \sin\varphi$ $ \cos\varphi$ $ -r\sin\varphi$ $ r\cos\varphi$
$ X_{1\ r}$
$ X_{2\ r}$
$ X_{3\ r}$
$ X_{1\ \varphi}$
$ X_{2\ \varphi}$
$ X_{3\ \varphi}$

Für welche Werte von $ r$ und $ \varphi$ ist $ X(r,\varphi) = (2,1,1) ?$

$ \quad r\ =\ $ $ \sqrt{\vphantom{\frac11}}$

$ \quad \varphi\ =\ $ $ \pi\Big/$

Bestimmen Sie im Punkt $ P = (2,1,1)$ von $ S$ eine Parameterdarstellung der Tangentialebene an $ S$ durch $ P$ .

$ \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right) \ +\ \lambda\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) \ +\ \lambda\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ -1$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Ergänzen Sie das Zweifach-Integral so, dass es den Flächeninhalt $ F(S)$ von $ S$ beschreibt und berechnen Sie $ F(S):$

$ F(S)\ =\ $
$ \pi$ $ \sqrt{\vphantom{\frac11}}$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ r \Big($ $ +$ $ r+$ $ r^2\Big)^\frac{1}{2}$ $ \ dr~d\varphi\ =\ $ $ \pi\Big/$

Die Funktion $ f(x,y,z) = \sqrt{1 + 2z}$ beschreibe eine Massendichte auf $ S .$ Ergänzen Sie das Zweifach-Integral so, dass es die Masse $ M(S)$ von $ S$ beschreibt und berechnen Sie $ M(S):$

$ F(S)\ =\ $
$ \pi$ $ \sqrt{\vphantom{\frac11}}$
$ \displaystyle\int$ $ \displaystyle\int$
$ +$ $ r+$ $ r^2+$ $ r^3$ $ \ dr~d\varphi\ =\ $ $ \pi\Big/$

Berechnen Sie die Koordinaten des Massenschwerpunkts $ SP$ von $ S$ .

$ x_{SP}\ =\ $          $ y_{SP}\ =\ $          $ z_{SP}\ =\ $ $ \Big/$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017