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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 422: Mehrdimensionale Extremwertaufgabe

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Funktion $ f: [-2,2]\times[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}\, , \ f(x,y)=x^4-2x^2-y^4+2y^2\,. $

Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von $ f$:

        $ f_x\ =\ $ $ x^3\ +\ $$ x$

        $ f_y\ =\ $ $ y^3\ +\ $$ y$

         $ f_{xx}\ =\ $ $ x^2\ +\ $

         $ f_{yy}\ =\ $ $ y^2\ +\ $

         $ f_{xy}\ =\ f_{yx}\ =\ $

Untersuchen Sie den Graph von $ f$ auf Symmetrien und tragen Sie diese gegebenenfalls in den folgenden Kasten ein:

Der Graph von $ f$ ist spiegelsymmetrisch zur

keine Angabe
$ (x,y)$-Ebene    und    $ (x,z)$-Ebene
$ (x,y)$-Ebene    und    $ (y,z)$-Ebene
$ (x,z)$-Ebene    und    $ (y,z)$-Ebene
Ebene $ x-1=0$    und    Ebene $ y-1=0$
Ebene $ x+1=0$    und    Ebene $ y+1=0$

Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von $ f ,$ die in $ \{(x,y) \vert x\geq 0,y\geq 0 \} $ liegen, und tragen Sie sie sortiert nach Typ in die unten stehende Tabelle ein:

lokale Minima:          
lokale Maxima:          
Sattelpunkte:          

Beginnen Sie mit dem kritischen Punkt mit dem kleinsten $ x$-Wert.

Tragen Sie bei gleichem $ x$-Wert den Punkt mit kleineren $ y$-Wert zuerst ein.

$ \Big(\ $$ \ \Big\vert\ $$ \ \Big)$        
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ \Big(\ $$ \ \Big\vert\ $$ \ \Big)$        
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ \Big(\ $$ \ \Big\vert\ $$ \ \Big)$        
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ \Big(\ $$ \ \Big\vert\ $$ \ \Big)$        
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt

Bestimmen Sie den maximalen Funktionswert von $ f$ und die Anzahl $ A$ von Punkten aus $ [-2,2]\times[-2,2]$, in denen der maximale Funktionswert angenommen wird :

$ \max f\ =\ $         $ A\ =\ $.

Sei $ D$ der Kreis um den Ursprung mit Radius $ \sqrt{2}$ und $ g$ die Einschränkung von $ f$ auf $ D$ , also

$\displaystyle D = \left\{(x,y) \vert x^2+y^2 \leq 2\right\}\,,\, g: D \rightarrow \mathbb{R}\, , \ g(x,y) = f(x,y) = x^4-2x^2-y^4+2y^2\, . $

Bestimmen Sie den minimalen Funktionswert von $ g$ und die Anzahl $ B$ von Punkten aus $ D$ , in denen der minimale Funktionswert angenommen wird :

$ \min g\ =\ $         $ B\ =\ $.


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017