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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 441: Krummlinige Koordinaten, Masse, Schwerpunkt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im dreidimensionalen Raum  $ \mathbb{R}^3$ seien neben den kartesischen Koordinaten  $ (x,\, y,\, z)^{\rm {t}}$ die krummlinigen Koordinaten  $ (u,\, \varphi,\, v)^{\rm {t}}$ gegeben. Zwischen ihnen besteht der Zusammenhang

$\displaystyle {\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z\end{array}\right)}={g}(u,\, \va... ...\ v\in {\textstyle{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}}.%\, \varphi\in [0,2\pi), $    

a)
Bestimmen Sie die kovariante Basis $ \{{g}_u,\, {g}_\varphi,\, {g}_v\,\}$ und die (kovarianten) Komponenten des metrischen Tensors. Prüfen Sie, ob die kovariante Basis ein Orthogonalsystem ist. Berechnen Sie die Funktionaldeterminante  $ {\rm {J}}\hspace*{0.02cm}g=\partial (x,\, y,\, z)/\partial(u,\, \varphi,\, v)$ .
b)
Skizzieren Sie die drei Koordinatenflächen  $ u={\rm {const}}$ , $ \varphi={\rm {const}},\, v ={\rm {const}}$ und bestimmen Sie den Typ der jeweiligen Quadrik.
Gegeben ist nun ein bezüglich der $ z$ -Achse rotationssymmetrischer Körper $ {B}(a)$ mit  $ 0<a<{\rm {e}}^2$ , dessen Schnitt mit der $ xz$ -Ebene in der Skizze dargestellt ist. Der Körper $ {B}(a)$ sei mit der Massendichte

$\displaystyle \varrho (x,y,z)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

belegt.

\includegraphics{bodwh.eps}
c)
Begründen Sie, daß das Rechteck  $ (\ln a,\, 2)\times (\textstyle\frac{\pi}{3},\, \frac{\pi}{2})$ in der $ uv$ -Ebene unter der Abbildung $ g$ auf den im ersten Quadranten liegenden Teil des schraffierten Gebietes (in der Skizze) abgebildet wird.
d)
Berechnen Sie die Gesamtmasse $ M(a)$ von $ {B}(a)$ und bestimmen Sie  $ \lim\limits_{a\to 0+}M(a)$ .
e)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes $ S$ von $ {B}(1)$ .


Antwort: (alle Zahleneingaben auf vier Nachkommastellen gerundet)

a)
Tragen Sie jeweils exp, -exp, sin, cos oder Zahlenwerte ein:


Kovariante Basis:

$ g_u=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ (u)$ $ (\varphi)$ $ (v)$
$ (u)$ $ (\varphi)$ $ (v)$
$ (u)$ $ (v)$  
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)\,, \qquad g_\varphi=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ (u)$ $ (\varphi)$ $ (v)$
$ (u)$ $ (\varphi)$ $ (v)$
   
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)\,,$

$ g_v=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ (u)$ $ (\varphi)$ $ (v)$
$ (u)$ $ (\varphi)$ $ (v)$
$ (u)$ $ (v)$  
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$ .

$ \left\{g_u,\, g_\varphi,\, g_v\right\}$ bildet ein Orthogonalsystem.                  keine Angabe ,         wahr      ,          falsch      .


Metrischer Tensor:

$ g=\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ (2u)$          
     $ (2u)$ $ (v)^2$     
          $ (2u)$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .
$ {\displaystyle{\left\vert\det\,\left(g_u,\, g_\varphi,\, g_v\right)\right\vert =}} $      $ \Bigl($ $ u\Bigr)$ $ (v)\,.$
b)
Koordinatenflächen:
$ u={\rm {const}}$ $ \varphi={\rm {const}}$ $ v={\rm {const}}$
keine Angabe
Paraboloid     
Kegel     
Kugel     
keine Angabe
Ebene     
zweischaliges Hyperboloid     
Ellipsoid     
keine Angabe
einschaliges Hyperboloid     
Kegel     
Ebene     
c)
Die Bilder von $ \varphi=0$ , $ v={\rm {const}}$ sind
keine Angabe ,         Kreise      ,         Geraden      ,         Halbgeraden      .


Die Bilder von $ u={\rm {const}}$ , $ \varphi=0$ sind

keine Angabe ,         Halbkreise      ,         Kreise      ,         Geradensegmente      .
d)
        $ M(a)=$ $ \left({\rm {e}}^m-a^n\right)$ ,         mit     $ m=$ ,     $ n=$ .

         $ {\displaystyle{\lim_{a\to 0+} \ M(a)=}}$ .

e)
Koordinaten des Schwerpunkts von $ B(1)$ :
$ x_S=$ ,         $ y_S=$ ,         $ z_S=$ .


   

(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM III, Herbst 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017