Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]

Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 470: Anfangswertproblem, Laplacetransformation


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem:

$\displaystyle u''(t) +4 u'(t) +5u(t) =5 \ , \ \ u(0)=0, u'(0)=-1 \ .
$

a)
In welche Gleichung geht die Differentialgleichung durch eine Laplace-Transformation $ u(t) \mapsto U(s)$ über?
b)
Lösen Sie diese Gleichung nach $ U(s)$ auf.
c)
Bestimmen Sie durch Rücktransformation die Lösung $ u(t) $ des Anfangswertproblems.
Lösung:
a)

$ u(t) $ $ \rightarrow$ $ U(s)$
$ u^{\prime}(t)$ $ \rightarrow$ $ U(s)-$ $ (0)$
$ u^{\prime \prime}(t)$ $ \rightarrow$ $ {}^2U(s) -$ $ (0)-$ $ {}^{\prime}(0)$


$ 1 \rightarrow \frac{1}{s} \Rightarrow
($$ s^2+$$ s+$$ )U(s)
=$ $ /s\, -$
b)
$ U(s) =($ $ -$ $ s)/(s(s^2+$$ s+$$ ))$
c)
Partialbruchzerlegung:
$ U(s)=$$ /s\,
-($$ s+$$ )/(s^2+$$ s+$$ )
-$$ /(s^2+$$ s+$$ )$

$ u(t) =$ $ -$$ \exp($ $ t) \cos
t -$$ \exp($$ t) \sin t$


   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 29.  6. 2007